O círculo é uma figura geométrica plana definida como a região limitada por uma circunferência. A circunferência, por sua vez, é um conjunto de pontos equidistantes de um outro ponto chamado centro. A distância entre o centro de uma circunferência e um ponto qualquer pertencente a ela, portanto, é sempre a mesma e é chamada de raio.
A partir dessa definição, e utilizando geometria analítica, é possível encontrar a equação reduzida da circunferência.
(x – a)² + (y – b)² = R²
Essa equação envolve um ponto P(x,y) pertencente à circunferência, o centro C(a,b) e o raio (R).
A figura acima mostra que é possível desenhar infinitas circunferências por meio de apenas 2 pontos, para tanto, é necessário saber a localização de pelo menos três pontos, sejam todos eles pertencentes à circunferência ou apenas dois pertencentes a ela mais o centro.
Para encontrar o centro de uma circunferência, basta saber a localização de três pontos pertencentes a ela. Por exemplo:
Os pontos destacados na circunferência são A(1,1); B(3,1) e C(3,3) e seu raio mede 1,41 cm. Para encontrar o centro D(x,y), é preciso montar o sistema de equações:
I) (1 - x)² + (1 - y)² = 1,41²
II) (3 - x)² + (1 - y)² = 1,41²
III) (3 - x)² + (3 - y)² = 1,41²
Desenvolvendo a primeira e a segunda equação do sistema acima, teremos:
I) 1 – 2x + x² + 1 – 2y + y² = 1,41²
II) 9 – 6x + x² + 1 – 2y + y² = 1,41²
Diminuindo a equação I pela equação II, obtemos:
8 – 4x = 0
8 = 4x
x = 8
4
x = 2
Caso sejam desenvolvidas as equações II e III, os resultados serão:
II) 9 – 6x + x² + 1 – 2y + y² = 1,41²
III) 9 – 6x + x² + 9 – 6y + y² = 1,41²
Diminuindo III por II:
8 – 4y = 0
8 = 4y
y = 8
4
y = 2
Portanto, o par ordenado onde se encontra o centro dessa circunferência é D(2,2)
Resumindo: Para encontrar o centro de uma circunferência, basta escolher três pontos conhecidos pertencentes a ela, substituir suas coordenadas na equação reduzida da circunferência de modo que o primeiro ponto forme uma equação, o segundo ponto forme uma segunda equação e o terceiro ponto uma terceira equação. Depois disso, considere essas três equações como um sistema e resolva-o. Esse procedimento é indicado para encontrar o centro de uma circunferência.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
